Ángulo

Ángulo

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Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).
Un ángulo positivo de 45º
Un ángulo positivo de 45º
Ángulo de 1º
Ángulo de 1º

Se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de estas semirrectas.

 

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Definiciones clásicas [editar]

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Las unidades de medida de ángulos [editar]

Transportador de ángulos.
Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos planos [editar]

Ángulo agudo
Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo recto

Ángulo agudo [editar]

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad (mayor de 0º y menor de 90º).
Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.

Ángulo recto [editar]

Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad (equivalente a 90º).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Ángulo llano

Ángulo obtuso [editar]

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad (mayor a 90º y menor a 180º).

Ángulo llano o extendido [editar]

El ángulo llano tiene una amplitud de  \pi \, rad (equivalente a 180º).

Ángulo cóncavo
Ángulo cóncavo
Ángulo completo
Ángulo completo

Ángulo cóncavo o reflejo [editar]

El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de  \pi\, rad y menos de  2 \pi\, rad (esto es, más de 180º y menos de 360°)

Ángulo completo o perigonal [editar]

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de  2\pi\, rad (equivalente a 360º)

Ángulos relacionados [editar]

En función de su posición, se denominan:

En función de su amplitud, se denominan:

Ángulos de un polígono [editar]

En función de su posición, se denominan:

  • ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
  • ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia [editar]

Ángulos en la circunferencia.
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Problema clásico: la trisección del ángulo [editar]

La trisección del ángulo, problema clásico, consistente en intentar dividirlo en tres partes iguales usando sólo regla y compás.

Ángulos tridimensionales [editar]

  • El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
  • El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales [editar]

  • Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en el espacio vectorial [editar]

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:

\cos \theta_{xy} = \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\|}

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.

Véase también [editar]

Trigonometría

Trigonometría

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La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]

La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

 

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Unidades angulares [editar]

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografia, arquitectura o en construccion.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Razones trigonométricas [editar]

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo  \alpha \, , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
 \operatorname{sen}(\alpha)= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}
  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
 \cos(\alpha)= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}
  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
 \tan(\alpha)= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}

Razones Trigonométricas Recíprocas [editar]

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

  • cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
 \csc (\alpha) = \frac{1}{\operatorname{sen} (\alpha)} = \frac{c}{a}
  • secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
 \sec (\alpha) = \frac{1}{\cos (\alpha)} = \frac{c}{b}
  • cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
 \cot (\alpha) = \frac{1}{\tan (\alpha)} = \frac{b}{a}

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Funciones trigonométricas inversas [editar]

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

 y= \operatorname{sen}(x) \,

y es igual al seno de x, la función inversa:

 x = \operatorname{arcsen}(y) \,

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

 y= \cos(x) \,

y es igual al coseno de x, la función inversa:

 x = \arccos(y) \,

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

 y= \tan(x) \,

y es igual al tangente de x, la función inversa:

 x = \arctan(y) \,

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

Valor de las funciones trigonométricas [editar]

Circunferencia en radianes.
Circunferencia en Grado sexagesimal.

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Rad Gr sen cos tan csc sec ctg
 0  \;  0^o \, \frac{\sqrt{0}}{2}=0 \frac{\sqrt{4}}{2}=1 0 \, \infty \,\! 1 \, \infty \,\!
 \frac{\pi}{6} 30^o \, \frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
 \frac{\pi}{4} 45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
 \frac{\pi}{3} 60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}
 \frac{\pi}{2} 90^o \, \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \frac{\sqrt{0}}{2}=0 \infty \,\! 1 \, \infty \,\! 0 \,

Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

Sentido de las funciones trigonométricas [editar]

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

 A \equiv O

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo  \alpha \, sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

 \frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}}

Los puntos E y B estan en la circunferencia de centro O, por eso la distancia  \overline{OE} y  \overline{OB} son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

 \operatorname{sen}(\alpha)= \overline{CB} \,
 \cos(\alpha)= \overline{OC} \,
 \tan(\alpha)= \overline{ED} \,

tenemos:

 \frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{ \cos(\alpha)} = \frac{\tan(\alpha)}{1}

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante [editar]

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.

Para  \alpha = 0 \, , tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

 \operatorname{sen}(0)= 0 \,
 \cos(0)= 1 \,
 \tan(0)= 0 \,

Si aumentamos progresivamente el valor de  \alpha \, , las distancias  \overline{CB} y  \overline{ED} aumentaran progresivamente, mientras que  \overline{OC} disminuirá.

Percatarse que  \overline{OC} y  \overline{CB} están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero  \overline{ED} no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo  \alpha = 0,5 \pi \, rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia  \overline{ED} será infinita.

La tangente toma valor infinito cuando  \alpha = 0,5 \pi \, rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

 

Segundo cuadrante [editar]

Cuando el ángulo  \alpha \, supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento  \overline{CB} , el coseno aumenta según el segmento  \overline{OC} , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo  \alpha \, inferior a  0,5\pi \, rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los  0,5\pi \, rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente  \overline{ED} por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo  \alpha \, aumenta progresivamente hasta los  \pi \, rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de  \alpha \, ,  \overline{CB} , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para  \alpha = 0,5 \pi \, rad, hasta que valga 0, para  \alpha = \pi \, rad, el coseno, \overline{OC} , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para  \alpha = 0,5 \pi \, rad, hasta –1, para  \alpha = \pi \, rad.

La tangente conserva la relación:

 \tan(a) = \frac{\operatorname{sen}(\alpha)} {\cos(\alpha)}

incluyendo el signo de estos valores.

 

Tercer cuadrante [editar]

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo  \alpha = \pi \, rad a  \alpha = 1,5  \pi \, rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para  \pi \, rad:

 \operatorname{sen}( \pi ) = 0 \,
 \cos( \pi ) = -1 \,
 \tan( \pi ) = 0 \,

Cuando el ángulo  \alpha \, aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento  \overline{OC} , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno,  \overline{CB} .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente,  \overline{CB} , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo  \alpha \, alcance  1,5 \pi \, rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento  \overline{CB} será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

 

Cuarto cuadrante [editar]

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo  \alpha \, entre  1,5 \pi \, rad y  2 \pi \, rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para  1,5 \pi \, rad:

 \operatorname{sen}(1,5 \, \pi ) = -1 \,
 \cos(1,5 \, \pi ) = 0 \,
 \tan(1,5 \, \pi ) = \infty \,

hasta los que toman para  2 \pi \, rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

 \operatorname{sen}(2 \, \pi ) = \sin(0) = 0 \,
 \cos(2 \, \pi ) = \cos(0) = 1 \,
 \tan(2 \, \pi ) = \tan(0) = 0 \,

como puede verse a medida que el ángulo  \alpha \, aumenta, aumenta el coseno  \overline{OC} en el lado positivo de las x, el seno  \overline{CB} disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente  \overline{ED} también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando  \alpha \, , vale  2 \pi \, ó  0 \pi \, al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

 

Representación gráfica [editar]

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π radianes.

Identidades trigonométricas [editar]

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen cinco identidades fundamentales:

Recíprocas [editar]

 \operatorname {sen} (\alpha) * \csc (\alpha) = 1
 \operatorname {cos} (\alpha) * \sec (\alpha) = 1
 \operatorname {tan} (\alpha) * \cot (\alpha) = 1

De división [editar]

 \tan (\alpha) = \frac {{sen} (\alpha)}{ \cos (\alpha)}

Por el teorema de Pitágoras [editar]

Como en el triángulo rectángulo se cumple que:

a^2 + b^2 = c^2 \,

de la figura anterior se tiene que:

 sen (\alpha ) = a \,
 cos (\alpha ) = b \,
 c = 1 \,

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,

que tambien puede expresarse:

\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \,
1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \,

Suma y diferencia de dos ángulos [editar]

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \,
\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \,
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \,
\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \,
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos [editar]

\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)
\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)\cos  \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)

Producto del seno y coseno de dos ángulos [editar]

\cos \alpha \,\cos \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)}{2}
\sin \alpha \,\sin \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}{2}
\cos \alpha \,\sin \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)}{2}
\sin \alpha \,\cos \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{2}

Ángulo doble [editar]

sen(2α) = 2 sen α cos α
cos(2α) = cos2α - sen2α
cos(2α) = 1 – 2 sen2(α)
cos(2α) = - 1 + 2 cos2(α)

Otras identidades trigonométricas [editar]

sen (90 – α) = cos α
cos (90 – α) = sen α
sen (180 – α) = sen α
cos (180 – α) = –cos α
sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)
Véase también: Sinusoide

Función tangente [editar]

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

\tan(a) = BC / AC = \operatorname{sen}(a) / \cos(a)

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90°) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45°) = 1
tan (π/3) = tan (60°)= \sqrt 3
tan (π/6) = tan (30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}

Una identidad de importancia con la tangente es:

\tan(\alpha + \beta) = \frac {\tan(\alpha) + \tan (\beta)} {1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}

Seno y Coseno, funciones complejas [editar]

El seno y coseno se define en matemática compleja , gracias a la fórmula de Euler como:

sin(\alpha)= \frac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}

cos(\alpha)= \frac {e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

tan(\alpha)= \frac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{ie^{i\alpha}+ie^{-i\alpha}}

Siendo i=\sqrt{-1} (también puede representarse como j)

Referencias [editar]

  1. Etimología de la palabra "trigonometría". Diccionario web de etimología (inglés).

Véase también [editar]

Enlaces externos [editar]