Ángulo

Ángulo

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Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).
Un ángulo positivo de 45º
Un ángulo positivo de 45º
Ángulo de 1º
Ángulo de 1º

Se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de estas semirrectas.

 

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Definiciones clásicas [editar]

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Las unidades de medida de ángulos [editar]

Transportador de ángulos.
Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos planos [editar]

Ángulo agudo
Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo recto

Ángulo agudo [editar]

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad (mayor de 0º y menor de 90º).
Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.

Ángulo recto [editar]

Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad (equivalente a 90º).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Ángulo llano

Ángulo obtuso [editar]

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad (mayor a 90º y menor a 180º).

Ángulo llano o extendido [editar]

El ángulo llano tiene una amplitud de  \pi \, rad (equivalente a 180º).

Ángulo cóncavo
Ángulo cóncavo
Ángulo completo
Ángulo completo

Ángulo cóncavo o reflejo [editar]

El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de  \pi\, rad y menos de  2 \pi\, rad (esto es, más de 180º y menos de 360°)

Ángulo completo o perigonal [editar]

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de  2\pi\, rad (equivalente a 360º)

Ángulos relacionados [editar]

En función de su posición, se denominan:

En función de su amplitud, se denominan:

Ángulos de un polígono [editar]

En función de su posición, se denominan:

  • ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
  • ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia [editar]

Ángulos en la circunferencia.
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Problema clásico: la trisección del ángulo [editar]

La trisección del ángulo, problema clásico, consistente en intentar dividirlo en tres partes iguales usando sólo regla y compás.

Ángulos tridimensionales [editar]

  • El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
  • El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales [editar]

  • Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en el espacio vectorial [editar]

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:

\cos \theta_{xy} = \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\|}

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.

Véase también [editar]